Теоретико-множественные операции реляционной алгебры
Объединением двух отношений называется отношение, содержащее множество кортежей, принадлежащих либо первому, либо второму исходным отношениям, либо обоим отношениям одновременно.
Пусть заданы два отношения R1 = { r1 } , R2 = { r2 }, где r1 и r2 - соответственно кортежи отношений R1 и R2, то объединение
R1 ? R2 = { r | r ? R1 ? r ? R2 }.
Здесь r - кортеж нового отношения, v - операция логического сложения "ИЛИ".
Пример применения операции объединения приведен па рис. 4.1. Исходными отношениями являются отношения R1 и R2, которые содержат перечни деталей, изготавливаемых соответственно на первом и втором участках цеха. Отношение R3 содержит общий перечень деталей, изготавливаемых в цеху, то есть характеризует общую номенклатуру цеха.
|
|
51
| R3 | |
| Шифр детали | Название детали |
| 00011073 | Гайка Ml |
| 00011075 | Гайка М2 |
| 00011076 | Гайка М3 |
| 00011003 | Болт Ml |
| 00011006 | Болт М3 |
| 00013063 | Шайба Ml |
| 00013066 | Шайба М3 |
| 00011077 | Гайка М4 |
| 00011004 | Болт М2 |
Пересечением отношений называется отношение, которое содержит множество кортежей, принадлежащих одновременно и первому и второму отношениям. R1 и R2:
R3 = R1 ? R2 ={ r | r ? R1 ? r ? R2 }
здесь ? - операция логического умножения (логическое "И").
В отношении R4 содержатся перечень деталей, которые выпускаются одновременно на двух участках цеха.
| R4 | |
| Шифр детали | Название детали |
| 00011073 | Гайка Ml |
| 00011076 | Гайка М3 |
| 00011006 | Болт М3 |
Разностью отношений R1 и R2 называется отношение, содержащее множество кортежей, принадлежащих R1 и не принадлежащих R2:
R5 = R1 \ R2 = { r | r ? R1 ? r ?/ R2 }
Отношение R5 содержит перечень деталей, изготавливаемых только на участке 1, отношение R6 содержит перечень деталей, изготавливаемых только на участке 2.
R6 = R2 \ R1 = { r | r ? R2 ? r ?/ R1 }
|
|
Следует отметить, что первые две операции, объединение и пересечение, являются коммутативными операциями, то есть результат операции не зависит от порядка аргументов в операции. Операция же разности является принципиально несимметричной операцией, то есть результат операции будет различным для разного порядка аргументов, что и видно из сравнения отношений R5 и R6.
В отличие от навигационных средств манипулирования данными в теоретико - графовых моделях операции реляционной алгебры позволяют получить сразу иной качественный результат, который является семантически гораздо более ценным и понятным пользователям. Например, сравнение результатов объединения и разности номенклатуры двух участков позволит оценить специфику производства: насколько оно уникально на каждом участке, и, в зависимости от необходимости, принять соответствующее решение по изменению номенклатуры.
Для демонстрации возможностей трех первых операций реляционной алгебры рассмотрим еще один пример - уже из другой предметной области. Исходными являются три отношения R1, R2 и R3. Все они имеют эквивалентные схемы.
Рассмотрим ситуацию поступления в высшие учебные заведения, которая была характерна для периода, когда были разрешены так называемые репетиционные вступительные экзамены, которые сдавались раньше основных вступительных экзаменов в вуз. Отношение R1 содержит список абитуриентов, сдававших репетиционные экзамены. Отношение R2 содержит список абитуриентов, сдававших экзамены на общих условиях. И наконец, отношение R3 содержит список абитуриентов, принятых в институт. Будем считать, что при неудачной сдаче репетиционных экзаменов абитуриент мог делать вторую попытку и сдавать экзамены в общем потоке, поэтому некоторые абитуриенты могут присутствовать как в первом, так и во втором отношении.
Ответим на следующие вопросы:
1. Список абитуриентов, которые поступали два раза и не поступили в вуз.
R = R1 ? R2 \ R3
2. Список абитуриентов, которые поступили в вуз с первого раза, то есть они сдавали экзамены только один раз и сдали их так хорошо, что сразу были зачислены в вуз.
R = (R1 \ R2 ? R3) ? (R2 \ R1 ? R3)
3. Список абитуриентов, которые поступили в вуз только со второго раза.
Прежде всего это те абитуриенты, которые присутствуют в отношениях R1 и R2, потому что они поступали два раза, и присутствуют в отношении R3, потому что они поступили.
R = R1 ? R2 ? R3
4. Список абитуриентов, которые поступали только один раз и не поступили.
Это прежде всего те абитуриенты, которые присутствуют в R1 и не присутствуют в R2, и те, кто присутствуют в R2 и не присутствуют в R1. И разумеется, никто из них не присутствует в R3.
53
R = (R1 \ R2) ? (R2 \ R1) \ R3
В отсутствие скобок порядок выполнения операций реляционной алгебры естественный, поэтому сначала будут выполнены операции в скобках, а затем будет выполнена последняя операция вычитания отношения R3.
Операции объединения, пересечения и разнести применимы только к отношениям с эквивалентными схемами.
Кроме перечисленных трех теоретико-множественных операций в рамках реляционной алгебры определена еще одна теоретико-множественная операция -расширенное декартово произведение. Эта операция не накладывает никаких дополнительных условий на схемы исходных отношений, поэтому операция расширенного декартова произведения, обозначаемая R1 ? R2, допустима для любых двух отношений. Но прежде чем определить саму операцию, введем дополнительно понятие конкатенации, или сцепления, кортежей.
Сцеплением, или конкатенацией, кортежей с = 1, с2, ..., сn> и q = 1, q2, ..., qm> называется кортеж, полученный добавлением значений второго в конец первого. Сцепление кортежей с и q обозначается как (с , q).
(с, q) = 1, с2, ... , сn, q1, q2, ..., qm>
Здесь n - число элементов в первом кортеже с, m - число элементов во втором кортеже q.
Все предыдущие операции не меняли степени или арности отношений - это следует из определения эквивалентности схем отношений. Операция декартова произведения меняет степень результирующего отношения.
Расширенным декартовым произведением отношения R1 степени n со схемой
SR1 = (А1, А2, ... , Аn)
и отношения R2 степени m со схемой
SR2 = (В1, В2, ... , Вm)
называется отношение R3 степени n+m со схемой
SR3 = (А1, А2, ... , Аn, В1, В2, ..., Вm),
содержащее кортежи, полученные сцеплением каждого кортежа r отношения R1 с каждым кортежем q отношения R2.
То есть если R1 = { r }, R2 = { q }
R1 ? R2 - {(r, q) | r ? R1 ? q ? R2}
Операцию декартова произведения с учетом возможности перестановки атрибутов в отношении можно считать симметричной. Очень часто операция расширенного декартова произведения используется для получения некоторого универсума - т. е. отношения, которое характеризует все возможные комбинации между элементами отдельных множеств. Однако самостоятельного значения результат выполнения операции обычно не имеет, он участвует в дальнейшей обработке. Например, на производстве в отношении 07 задана обязательная номенклатура деталей для всех цехов, а в отношении 08 дан перечень всех цехов.
54
|
|
|
|
|
|
Отношение R11, которое является результатом выполнения этой операции, имеет вид:
R11 = R9 \ R10
56
| R11 | ||
| Шифр детали | Название детали | Цех |
| 00011073 | Гайка Ml | Цех 2 |
| 00011075 | Гайка М2 | Цех 2 |
| 00011076 | Гайка М3 | Цех 2 |
| 00011004 | Болт М2 | Цех 3 |
| 00013062 | Шайба М2 | Цех 3 |
| 00011003 | Болт Ml | Цех 2 |
| 00011005 | Болт М5 | Цех 3 |
(R1 ? R2) \ (R1 \ R2) \ (R2 \ R1)
Однако это достаточно сложная формула, и именно поэтому все три теоретико-множественные операции вошли в базовый набор операций реляционной алгебры.
Далее мы переходим к группе операций, названных специальными операциями реляционной алгебры.
